Más allá de la media aritmética
La media aritmética es una herramienta fundamental, básica en la estadística y por extensión, en la vida diaria. Tanto es así que hasta la gente más profana en la materia, la conoce y la utiliza llamándola por abuso del lenguaje, simplemente media. Este conocimiento tan generalizado, si bien permite conocer y aplicar la herramienta, acaba sepultando la existencia de otras medias que en muchos casos, son más adecuadas. De esta forma, a mucha gente le resulta sorprendente oír algo como “media armónica” e inmediatamente piensa en rebuscados cálculos esotéricos. A continuación veremos que hay vida más allá de la media aritmética y que no resulta nada complicado. Recordamos que la media aritmética \(\bar{x}\) se puede definir como la suma de todos los valores de una variable divido por la cantidad de valores, esto es:
\[\begin{equation} \displaystyle {\bar{x}}={\frac{1}{n}}\sum_{i=1}^{n}x_{i}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}} \end{equation}\]La media armónica \(H\) se expresa de este modo:
\[\begin{equation} H={\frac{n}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\cfrac{1}{x_{i}}}}}={\frac {n}{{\cfrac{1}{x_{1}}}+\cdots +{\cfrac{1}{x_{n}}}}} \end{equation}\]Este cambio genera el problema de ser muy sensible a anomalías cuando los datos son muy pequeños o cercanos a 0. Esto es lógico pues cada valor va a representar el denominador de un cociente. En una división \(\frac{a}{b}\), podemos ver intuitivamente que cuanto menor sea el valor de ‘b’ respecto a ‘a’ mayor será el resultado y viceversa. Así, \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{\cfrac {1}{x_{i}}}\) puede tomar grandes valores que desvirtúan el resultado si \(x_i\) es un valor muy pequeño. También existe la media geométrica \(G\):
\[\begin{equation} \displaystyle {\ {G}}={\sqrt[{n}]{\prod_{i=1}^{n}{x_{i}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}} \end{equation}\]Si bien esta nueva formulación mitiga en parte uno de los mayores problemas de la media aritmética como es su sensibilidad a valores extremos -razón por la cual es inapropiada para, por ejemplo, calcular sueldos- tiene dos problemas básicos. En primer lugar es un cálculo bastante más complejo -puede resultar tremendamente complejo hacer a mano o mentalmente- y presenta un inconveniente importante. En el caso de que uno sólo de los valores tome el valor 0, el cálculo se anula pues cualquier número multiplicado por ese valor sería 0. Por último vemos la fórmula de la media cuadrática $\ {C}$:
\[\begin{equation} \displaystyle {\ {C} }={\sqrt {\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}=\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}} {n}} \end{equation}\]Resulta la más similar a la media aritmética. Haciendo honor a su nombre se eleva cada valor al cuadrado y aplica después una raíz cuadrada al total de su sumatoria dividida por n. Con ello se consigue que al agrupar valores de signo contrario no se contrarrestren, pues cualquier número elevado al cuadrado, ya sea positivo o negativo, resulta positivo. Así, la media cuadrática resulta muy útil en cálculos donde lo que nos interesa es el valor absoluto como por ejemplo, errores de medida.
Hechas las presentaciones, la pregunta que surge resulta evidente, ¿Para qué se usan? veámoslo con unos ejemplos.
Un avión recorre 6000 km. Los primeros 1000 km los recorre a una velocidad de 800 km/h, 2000 km a 1100 km/h, y los 3000 km restantes baja a una velocidad de 900 km/h. Usando la media aritmética, la velocidad media sería:
\[\begin{equation} \displaystyle {\bar {x}}={\frac {800+2 \cdot 1100+3 \cdot 900} {6} = \ 950 km/h} \end{equation}\]Sin embargo, de hacerlo con la media armónica obtenemos la velocidad media real:
\[\begin{equation} \displaystyle {H}={\frac {6}{{\cfrac{1}{800}}+{\cfrac{3}{900}}+{\cfrac {2}{1100}}}}=937,27 \ km/h \end{equation}\]La media aritmética supone el cálculo de la velocidad media en igualdad de tiempos, mientras que la media armónica supone la velocidad media en igualdad de espacios. Si recordamos que espacio = velocidad x tiempo, sabemos que cuando aumenta la velocidad, es necesario menos tiempo para recorrer la misma distancia porque velocidad y tiempo son magnitudes inversamente proporcionales.
Una población de 5000 bacterias crecen en una placa de Petri un 5% el primer día, un 15% el segundo día, un 50% en el tercero, y un 75% de crecimiento en el cuarto día. ¿Cúal sería la tasa promedio en estos cuatro días?. Desarrollemos primero los datos
| Día | Población inicial | Tasa de crecimiento | Factor | Población a final de año |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 50.000 | 0.3625 | 1.3625 | 68.125 |
| 2 | 68.125 | 0.3625 | 1.3625 | 92.821 |
| 3 | 92.821 | 0.3625 | 1.3625 | 126.469 |
| 4 | 126.469 | 0.3625 | 1.3625 | 172.314 |
Es decir, la población final sería de 158.484 bacterias -usando siempre el lógico redondeo a un valor entero- Si usásemos la media aritmética como el factor de la tasa media de crecimiento, la tabla sería ésta:
\[\begin{equation} \displaystyle {\bar {x}}={\frac {1.05 + 1.15 + 1.5 + 1.75} {4} = \ 1.3625} \end{equation}\]| Día | Población inicial | Tasa de crecimiento | Factor | Población a final de año |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 50.000 | 0.3343 | 1.3343 | 66.715 |
| 2 | 66.715 | 0.3343 | 1.3343 | 89.018 |
| 3 | 89.018 | 0.3343 | 1.3343 | 118.777 |
| 4 | 118.777 | 0.3343 | 1.3343 | 158.484 |
Vemos que el valor final tiene un error importante, pues da una población final superior a la real. Veamos qué ocurre si usamos la media geométrica
\[\begin{equation} \displaystyle {\ {G}}={\sqrt[{4}]{1,05\cdot 1,15\cdot 1,5 \cdot 1,75}}=1.3343 \end{equation}\]| Día | Población inicial | Tasa de crecimiento | Factor | Población a final de año |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 50.000 | 0.3343 | 1.3343 | 66.715 |
| 2 | 66.715 | 0.3343 | 1.3343 | 89.018 |
| 3 | 89.018 | 0.3343 | 1.3343 | 118.777 |
| 4 | 118.777 | 0.3343 | 1.3343 | 158.484 |
Comprobamos que efectivamente el factor de la media geométrica es el valor
correcto.
Supongamos que siete ingenieros desarrollan un método para construir pequeñas
bolas metálicas para rodamientos que deben medir exactamente 5 milímetros. No
nos preocupa que el error sea por exceso o por defecto, pues tanto si demasiado
pequeña o demasiado grande, no nos servirá. Construyamos la tabla de resultados:
| Ingeniero | Tamaño obtenido en mm | Margen de error |
|---|---|---|
| 1 | 5.4099 | +0.4099 |
| 2 | 3.1010 | -1.8990 |
| 3 | 6.0430 | +1.0430 |
| 4 | 4.5744 | -0.4256 |
| 5 | 3.9297 | -1.0703 |
| 6 | 4.9804 | -0.0196 |
| 7 | 5.6734 | +0.6734 |
Usando la media aritmética el resultado sería:
\[\begin{equation} \displaystyle {\bar {x}}={\frac {0.4099-1.8990+1.0430-0.4256-1.0703-0.0196+0.6734} {7} = \ -0.1840286} \end{equation}\]Y con la media cuadrática:
\[\begin{equation} \displaystyle {\ {C} }={\sqrt {\frac{1}{7}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}=\sqrt {\frac {(0.4099)^2+(-1.8990)^2+\dots+(-0.0196)^2+(0.6734)^2} {7}}=0.9741368 \end{equation}\]Es fácil comprobar cómo la media aritmética da un resultado muy inferior al que intuitivamente esperamos, pues valores positivos y negativos se contrarestan. La media cuadrática soluciona el problema mostrando el error medio real de los siete ingenieros.